الإحصاء والاحتمالات
A. تقديم الإحصاء:
I. تعريف:
الإحصاء هو علم يهتم بدراسة الظواهر الاجتماعية وخاصة تلك التي تكون عرضة لتغيرات لا يمكن الإلمام بها إلاّ عند دراستها على مجموعات كبيرة نسبيا (عينة سكانية أو اجتماعية أو اقتصادية أو مناخية...).

II. الإحصاء الوصفي: Statistique descriptive))
هو مجموعة الوسائل والطرق المستعلمة لتجميع المعلومات والملاحظات الممكنة حول طاهرة معينة وتقديمها كميا في جداول أو تمثيلها بمخططات لغرض التحليل والدراسة.
مثال: في ما يلي درجات الحرارة المسجلة بإحدى المدن خلال شهر جويلية:
32-38-35-33-34-34-35-37-38-35-37-34-35-37-35-38-39-37-35-35-34-35-37-39-37-32-37-38-36-35-32.

1) ماذا تمثل هذه السلسلة من العداد؟
مجموعة الإحصاء: (Population)
هي مجموعة العناصر المادية أو المجردة موضوع الدراسة الإحصائية.

2) ما هي الوحدة الإحصائية المستعملة في المثال السابق؟
الوحدة الإحصائية (unité statistique)
الوحدة الإحصائية (أو الفرد الإحصائي) هي احد عناصر المجموعة الإحصائية ويمكن أن يكون إنسان أو حيوان أو ظاهرة اقتصادية.

3) ما هي ميزة هذه السلسلة الإحصائية؟
* الميزة الكمية (caractère quantitatif)
تسمى أيضا المتغير الإحصائي هي خاصية من الخاصيات المميزة لوحدات إحصائية والتي يمكن ترجمتها عدديا. مثل العمر والدّخل والإنتاج والاستهلاك...
* الميزة الكيفية (caractère qualitatif)
هي خاصية من الخصائص المميزة لوحدات إحصائية والتي لا يمكن ترجمتها عدديا مثل: الجنس والمهنة والجنسية والحالة المدنية وفصيلة الدم...
مثال: بإمكاننا ترجمة معطيات المثال السابق من سلسلة ذات ميزة كمية إلى سلسلة ذات ميزة كيفية (بارد، حار، ممطر، مشمس، معتدل ...)

4) حوصل السلسلة الإحصائية السابقة في جدول وفقا للمنوال التالي:
درجات الحرارة
32
33
34
35
36
37
38
39
المجموع
عدد الأيام
3
1
4
9
1
7
4
2
31

* الجدول الإحصائي (tableau statistique)
هو جدول تنظم وتصنف فيه نتائج الدراسة الإحصائية وذلك حتى تسهل معالجتها وتحليلها واستثمارها.

5) مثل هذه السلسلة الإحصائية بمخطط العصيات وارسم مظلع التكرارات:

6) ما هو معدل درجة الحرارة بهذه المدينة في شهر جويلية:
* المعدل الحسابي (Moyenne arithmétique)
هو خارج قسمة مجموع قيم المتغير الإحصائي على مجموع الأفراد (أو مجموع الملاحظات).

7) حدّد مدى السلسلة الإحصائية السابقة:
* المدى (L’amplitude)
هو الفرق بين اكبر واصغر قيمة للمتغير الإحصائي.

8) ما هو متوال السلسلة؟
* المنوال (le mode)
هو قيمة المتغير الإحصائي التي يكون لها اكبر تكرار .

9) أ. ما هو عدد الأيام التي سجلت بها درجة حرارة تفوق 36 درجة؟
ب. ما هو عدد الأيام التي سجلت بها درجة حرارة اقل من 36 درجة؟
* التكرار (effectif)
تكرار احد أصناف أو حالات ميزة إحصائية هو عدد الأفراد أو الملاحظات الموافقة لها.

10) ما هو التواتر الموافق لدرجة الحرارة 32 درجة في شكل عدد كسري ثم بالنسبة المائوية.
* التواتر (Fréquence)
تواتر احد أصناف أو حالات ميزة إحصائية يساوي خارج قسمة تكرارها على العدد الجملي لأفراد مجموعة الإحصاء.

11) أحسب موسط هذه السلسلة الإحصائية:
حساب الموسط
يمكن إعادة تنظيم النتائج السابقة بالطريقة التالية:

تعريف: الموسط (la médiane)
هو قيمة المتغير الإحصائي التي تقسم أفراد المجموعة الإحصائية بعد ترتيبها إلى مجموعتين متساويتين في العدد.
مثال: نعتبر الجدول الإحصائي التالي:
رقم الحذاء
36
37
38
39
40
عدد التلاميذ
3
5
10
2
4

احسب موسط هذه السلسلة الإحصائية.
ملاحظة:
- نرمز بـ N : التكرار الجملي (effectif Total)
· إذا كان N عدد فردي فغن الموسط Me هو قيمة الميزة التي ترتيبتها
· إذا كان N عدد زوجي فإن Me هو نصف مجموع الميزة التي ترتيبتها والميزة التي ترتيبتها .

III. ................
في ما يلي نتائج قسم يعدّ 40 تلميذا في فرض الرياضيات:
10.5 – 11.5 – 8 – 7.5 – 13 – 4 – 19 – 6.5 – 11- 8.5 - 6.5 – 7 – 3 – 17.5 – 16 – 5 - 10 – 10.5 – 18.5 – 11.5 – 11.5 – 13 – 8.5 – 9 – 10 – 15 – 12 - 13.5 – 5.5 – 12 – 10 – 3.5 – 6.5 – 9.5 – 11.5 – 14.5 – 15.5 – 14 – 18.5 – 18


1) نظم هذه المعطيات في جدول إحصائي مبرزا فيه نتائج هذا القسم مجزئا على أصناف مدى كل صنف 4 وحدات :

الفئة
عدد التكرارات
2
8
16
10
4
النسبة المائوية (%)
5
20
40
25
10
مركز الفئة (c
2
6
10
14
18
قيس الزاوية
18°
72°
144°
90°
36°
N.B: مركز الفئة هو المعدل الحسابي لطرفيه.

2) ما هو نوع هذه السلسلة الإحصائية؟
* السلسلة الإحصائية (Série statistique)
هي جدول إحصائي أو كلّ معطى يساعد على تكوين جدول إحصائي.
- سلسلة إحصائية منقطعة: هي سلسلة تتعلق بدراسة ميزة إحصائية كمية منقطعة.
- سلسلة إحصائية مسترسلة: هي سلسلة تتعلق بدراسة ميزة إحصائية كمية مسترسلة.

3) ارسم مخطط المستطيلات وارسم عليه مظلع التكرارات.



4) مثل النسب المئوية لهذه السلسلة الإحصائية بمخطط دائري:
5) احسب المعدل الحسابي لهذا القسم:
6) أ. ما هو متوال هذه السلسلة الإحصائية؟ (Classe modale)
ب. ما هو مدى هذه السلسلة الإحصائية؟
7) احسب موسط هذه السلسلة الإحصائية؟
B. أمثلة لظواهر عشوائية:
الاحتمالات: (Probabilité)
- المظاهر العشوائية: Phénomène aléatoires))
هي تجربة لا يمكن التنبأ بنتائجها لأنها في كل مرّة لا تؤدي بالضرورة إلى نفس النتيجة ودراستها تسمى حساب الاحتمالات.
مثال: نعتبر لعبة مؤلفة من 10 أوراق ديناري
10 أوراق كب
و10 أوراق بسطوني
و 10 أوراق سباطي
نخلّط الأوراق جيدا ثم نسحب ورقة واحدة.
1) حدّد احتمال سحب ورقة ديناري واكتبه في صيغة كسرية.
2) حدّد احتمال سحب ورقة بسطوني واكتبه في صورة عشرية.
3) حدّد احتمال سحب ورقة سباتي واكتبه في صيغة نسبية مائوية.
4) أ. حدّد احتمال سحب ورقة ديناري أو بسطوني
ب. حدّد احتمال سحب ورقة ليست ديناري.
تعاريف:
‌أ. الإمكانيات (الحالات الممكنة):
الحالة الممكنة هي إحدى النتائج المتوقعة لتجربة عشوائية.
مثال: مجموعة إمكانيات رمي النرد هي:
E= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
‌ب. الحدث: événement))
هو مجموعة جزئية من مجموعة إمكانيات تجربة عشوائية.
مثلا في لعبة رمي النرد {2} هو حدث ابتدائي
و{2, 3, 5} هو حدث مؤلف.
و{0} هو حدث مستحيل
و {1, 2 , 3 ,4, 5, 6} هو حدث أكيد.
‌ج. احتمال الحدث: (probabilité d'un événement)
هو عدد محصور بين 0 و1 يمثل درجة الثقة التي نضعها في إمكانية حصول ذلك الحدث